题目内容

10.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{9λ}\overrightarrow{DC}$,则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值为$\frac{29}{18}$.

分析 利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式,根据具体的形式求最值.

解答 解:由题意,得到AD=BC=CD=1,所以$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$)•($\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$)=($\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$)•($\overrightarrow{AD}+\frac{1}{9λ}\overrightarrow{DC}$)
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}+\frac{1}{9λ}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}$$+\frac{1}{9}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$=2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+$\frac{1}{9λ}$×2×1+$\frac{1}{9}$×1×1×cos120°
=1+$\frac{λ}{2}$+$\frac{2}{9λ}$-$\frac{1}{18}$≥$\frac{17}{18}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{29}{18}$(当且仅当$\frac{λ}{2}=\frac{2}{9λ}$时等号成立);
故答案为:$\frac{29}{18}$.

点评 本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是正确表示所求,利用基本不等式求最小值.

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