题目内容
13．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．
分析 （Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，-1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
解答 解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；
（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为${C}_{9}^{3}=84$，
随机变量X的取值为：0，-1，1，
当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即${C}_{8}^{3}$；
当X=-1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即${C}_{4}^{2}$；
当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即${C}_{4}^{2}$；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即${{C}_{4}^{1}C}_{4}^{1}$．
则P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{2}{3}$，P（X=-1）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{14}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{11}{42}$，
| X | 0 | -1 | 1 |
| P | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{14}$ | $\frac{11}{42}$ |
点评 本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．
练习册系列答案
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