题目内容

13．已知双曲线过点$（4，\sqrt{3}）$且渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，则该双曲线的标准方程是$\frac{1}{4}$x2-y2=1．

分析 设双曲线方程为y2-$\frac{1}{4}$x2=λ，代入点$（4，\sqrt{3}）$，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．

解答 解：设双曲线方程为y2-$\frac{1}{4}$x2=λ，
代入点$（4，\sqrt{3}）$，可得3-$\frac{1}{4}×16$=λ，
∴λ=-1，
∴双曲线的标准方程是$\frac{1}{4}$x2-y2=1．
故答案为：$\frac{1}{4}$x2-y2=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．

练习册系列答案
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3．已知点A（0，1），B（3，2），向量$\overrightarrow{AC}$=（-4，-3），则向量$\overrightarrow{BC}$=（　　）
A．（-7，-4）B．（7，4）C．（-1，4）D．（1，4）
4．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{x-y≤0}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$．则$\frac{y}{x}$的最大值为3．
1．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求$\frac{V_1}{V_2}$的值．
8．$\overrightarrow{a}$=（1，-1），$\overrightarrow{b}$=（-1，2）则（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$=（　　）
A．-1B．0C．1D．2
18．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点（2，$\sqrt{2}$）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，$\sqrt{3}$），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4$\sqrt{7}$x的准线上，则双曲线的方程为（　　）
A．$\frac{{x}^{2}}{21}$-$\frac{{y}^{2}}{28}$=1B．$\frac{{x}^{2}}{28}$-$\frac{{y}^{2}}{21}$=1C．$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1D．$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{x}-3，x≥1\\ lg（{x^2}+1），x＜1\end{array}$，则f（f（-3））=0，f（x）的最小值是$2\sqrt{2}-3$．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．
求证：△ABD∽△AEB．

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