Question

【题目】三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C为正方形，侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C，且AC=2，AB= ，∠A1AB=45°，E、F分别为AA1、CC1的中点．

（1）求证：AA1⊥平面BEF；
（2）求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明： ，∠A1AB=45°，AE=1，故BE⊥AA1．

又AA1∥BB1，故BE⊥BB1，又侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C

故BE⊥平面BB1C1C．EF∥AC，AC⊥AA1，EF⊥AA1，

故AA1⊥平面BEF

（2）解：以BF为x轴，BE为y轴，B1B为z轴，建立空间直角坐标系．

则E（0，1，0），B1（0，0，﹣2），

平面BEB1的法向量为 （1，0，0），

=（0，﹣1，﹣2）， =（ ，﹣1，﹣1），

设平面EB1C1的法向量 =（x，y，z），

则 ，

取y=2，得 = ，

设二面角B﹣EB1﹣C1的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出BE⊥AA1 ， BE⊥BB1 ， 从而BE⊥平面BB1C1C，由此能证明AA1⊥平面BEF．（2）以BF为x轴，BE为y轴，B1B为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．