题目内容
【题目】已知数列{an}的各项均为正数,前n和为Sn , 且Sn= (n∈N*).
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)设bn=an3n , 求数列{bn}的前n项的和Tn .
【答案】
(1)
解:证明:当n≥2时, .…①
…②
①﹣②得: ,
整理得:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1)=(an+an﹣1).
∵数列{an}的各项均为正数,即an+an﹣1≠0,
∴an﹣an﹣1=1(n≥2).
当n=1时, ,得
,
由a1>0,得a1=2,…(4分)
∴数列{an}是首项为2,公差为1的等差数列.
(2)
解:由(1)得an=2+(n﹣1)×1=n+1
∴
…(1)
…+n×3n+(n+1)×3n+1…(2)
(1)﹣(2)得
∴
∴
【解析】(1)当当n≥2时,求得Sn及Sn﹣1 , 做差求得: 整理得:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1)=(an+an﹣1)由an+an﹣1≠0,即可得到an﹣an﹣1=1,当n=1时,求得a1=2即可得数列{an}是等差数列;(2)由(1)求得数列{an}的通项公式,数列{bn}的前n项和Tn , 采用乘以公比“错位相减法”,即可求得Tn .
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的通项公式(及其变式)的相关知识,掌握通项公式:或
,以及对数列的前n项和的理解,了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
.
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