Question

【题目】设双曲线与椭圆 =1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求：
（1）双曲线的标准方程．
（2）若直线L过A（﹣1，2），且与双曲线渐近线y=kx（k＞0）垂直，求直线L的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆 =1的焦点为（0，3），（0，﹣3），

交点A的纵坐标为4，可得A（± ，4），

设双曲线的方程为 =1（a，b＞0），

由题意可得a2+b2=9， =1，

解得a=2，b= ，

则双曲线的方程为 =1

（2）解：双曲线 =1的渐近线方程为y=± x，

由题意可得k= ，

则直线l的斜率为﹣ =﹣ ，

即有直线l的方程为y﹣2=﹣ （x+1），

即为 x+2y+ ﹣4=0

【解析】（1）求得椭圆的焦点，求得A的坐标，设出双曲线的方程，由题意可得a2+b2=9， =1，解得a，b，即可得到所求方程；（2）求得双曲线的渐近线方程，可得k，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点斜式方程即可得到所求方程．