Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ ．
（1）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为 ，求a的值；
（3）若f（x）＞x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=lnx﹣ ，

∴f（x）的定义域为（0，+∞）， ，

∵a＞0，∴f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增

（2）解：由（1），当a≥0时，f（x）在[1，e]上单调递增，

∴f（x）min=f（1）=﹣a= ，

∴a=﹣ ，不舍题意，舍；

当﹣e＜a＜0时，f（x）在[1，﹣a]上单调递减，在[﹣a，e]上单调递增，

∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1= ，解得a=﹣ ；

当a＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递增，

∴f（x）min=f（1）=﹣a= ，解得a=﹣ ，不合题意，舍；

综上所述，a=﹣

（3）解：∵ ，∴a＞xlnx﹣x3，

令g（x）=xlnx﹣x3，则g′（x）=lnx+1﹣3x2， ，

当x＞1时，g'（x）＜0，∴g′（x）在（1，+∞）上单调递减，

∴g′（x）＜g′（1）=2＜0，

∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，

∴g（x）＜g（1）=﹣1．

∴a≥﹣1．

∴f（x）＞x2在（1，+∞）上恒成立，a的取值范围是[﹣1，+∞）

【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞）， ，由此利用导数性质能求出f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）由（1）根据a的取值范围分类讨论，由此利用导数性质能求出a的值．（3）由 ，得a＞xlnx﹣x3 ， 令g（x）=xlnx﹣x3 ， 由此利用导数性质能求出a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．