题目内容
18.过抛物线x2=4y的焦点F作倾斜角为α的直线交抛物线于P、Q两点,过点P作抛物线的切线l交y轴于点T,过点P作切线l的垂线交y轴于点N,则△PNF为( )A. | 等腰直角三角形 | B. | 直角三角形 | C. | 等腰三角形 | D. | 等边三角形 |
分析 设出P点坐标,对抛物线方程进行求导表示出PN和PT的斜率,则直线PN的方程可得,令x=0,求得N点坐标,进而可表示出|NF|,由抛物线定义可知|PF|,推断出|PF|=|NF|,把x=0代入直线l的方程求得T点坐标,表示出
|TF|,进而可知|NF|=|TF|=|PF|.
解答 解:由x2=4y,得焦点F(0,1),设P(x0,$\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}$),
由y′=$\frac{1}{2}$x,知kl=${y}^{′}{|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{1}{2}{x}_{0}$,则${k}_{PN}=-\frac{2}{{x}_{0}}$,
直线PN的方程为:y-$\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}$=-$\frac{2}{{x}_{0}}$(x-x0),
令x=0,得N(0,$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+2$),点F(0,1),
则|NF|=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+1$.
由抛物线定义知|PF|=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-(-1)=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+1,
即|PF|=|NF|,
直线l的方程为y-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$(x-x0),
令x=0,得到${y}_{T}=-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$,∴|TF|=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+1,
故|NF|=|TF|=|PF|.
∴△PNF为等腰三角形.
故选:C.
点评 本题主要考查了抛物线的定义及性质的运用.考查了学生综合分析问题的能力,属中档题.
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