题目内容
8.双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为$\sqrt{2}$,双曲线C与抛物线y2=4x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则双曲线C的实轴长为( )A. | 2 | B. | $\sqrt{3}$ | C. | 4 | D. | $2\sqrt{3}$ |
分析 设出双曲线方程,求出抛物线的准线方程,利用|AB|=4求得一交点坐标,代入双曲线方程求得λ,则双曲线C的实轴长可求.
解答 解:由题意可知,双曲线为焦点在y轴上的等轴双曲线,
设等轴双曲线C的方程为y2-x2=λ,(1)
抛物线y2=4x,则2p=4,p=2,∴$\frac{p}{2}=1$,
∴抛物线的准线方程为x=-1.
设等轴双曲线与抛物线的准线x=-1的两个交点A(-1,y),B(-1,-y)(y>0),
则|AB|=|y-(-y)|=2y=4,∴y=2.
将x=-1,y=2代入(1),得22-(-1)2=λ,∴λ=3,
∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=3,
即$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$,
∴C的实轴长为$2\sqrt{3}$.
故选:D.
点评 本题考查抛物线,双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
练习册系列答案
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