题目内容

10.已知正数a,b,c满足a+b+c=6,求证:$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}≥\frac{1}{2}$.

分析 由已知及均值不等式,即可证明结论.

解答 证明:由已知及均值不等式:$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}≥\frac{3}{{\root{3}{abc(1+a)(1+b)(1+c)}}}$
=$\frac{3}{{\root{3}{abc}•\root{3}{(1+a)(1+b)(1+c)}}}≥\frac{3}{{\frac{a+b+c}{3}•\frac{1+a+1+b+1+c}{3}}}$=$\frac{3}{2•3}=\frac{1}{2}$…(10分)

点评 本题考查不等式的证明,正确运用均值不等式是关键.

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