题目内容

10．已知正数a，b，c满足a+b+c=6，求证：$\frac{1}{a（1+b）}+\frac{1}{b（1+c）}+\frac{1}{c（1+a）}≥\frac{1}{2}$．

分析 由已知及均值不等式，即可证明结论．

解答 证明：由已知及均值不等式：$\frac{1}{a（1+b）}+\frac{1}{b（1+c）}+\frac{1}{c（1+a）}≥\frac{3}{{\root{3}{abc（1+a）（1+b）（1+c）}}}$
=$\frac{3}{{\root{3}{abc}•\root{3}{（1+a）（1+b）（1+c）}}}≥\frac{3}{{\frac{a+b+c}{3}•\frac{1+a+1+b+1+c}{3}}}$=$\frac{3}{2•3}=\frac{1}{2}$…（10分）

点评 本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．

练习册系列答案
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20．已知A、B两点相距12，动点M满足|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|=36，求点M的轨迹的极坐标方程．
1．已知四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD的对边互不平行，现用一平面α去截此四棱锥，且要使截面是平行四边形，则这样的平面α（　　）
A．有且只有一个B．有四个C．有无数个D．不存在
18．过抛物线x2=4y的焦点F作倾斜角为α的直线交抛物线于P、Q两点，过点P作抛物线的切线l交y轴于点T，过点P作切线l的垂线交y轴于点N，则△PNF为（　　）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
5．如图，弧$\widehat{AEC}$是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧$\widehat{AC}$的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=$\sqrt{5}$a，FE=$\sqrt{6}$a．
（Ⅰ）证明：EB⊥FD；
（Ⅱ）已知点R为线段FB上的点，且FR=λFB，求当RD最短时，直线RE和平面BDE所成的角的正弦值．
15．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）=-1在[0，1）上有实数根，则方程f（x）=1在区间[-1，7]上所有实根之和是（　　）
A．12B．14C．6D．7
2．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，$\frac{c-a}{b-a}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$．
（1）求角C的大小；
（2）求函数f（x）=cos2（x+C）-sin2（x-C）的单调递增区间．
19．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（　　）
A．$\frac{3}{2}$B．$\frac{5}{3}$C．$\frac{8}{5}$D．$\frac{12}{7}$
20．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜$\frac{1}{3}$，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A．（0，$\frac{1}{3}$）B．（$\frac{1}{3}$，1）C．（0，$\frac{2}{3}$）D．（$\frac{2}{3}$，1）

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