Question

【题目】已知函数f（x）=2 sin（ax﹣ ）cos（ax﹣ ）+2cos2（ax﹣ ）（a＞0），且函数的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0， ]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：函数f（x）=2 sin（ax﹣ ）cos（ax﹣ ）+2cos2（ax﹣ ）（a＞0）， 化简可得：f（x）= sin（2ax﹣ ）+cos（2ax﹣ ）+1
= cos2ax+sin2ax+1
=2sin（2ax+ ）+1
∵函数的最小正周期为 ．即T=
由T= ，可得a=2．
∴a的值为2．
故f（x）=2sin（4x+ ）+1；
（Ⅱ）x∈[0， ]时，4x+ ∈[0， ]．
当4x+ = 时，函数f（x）取得最小值为 =1- ．
当4x+ = 时，函数f（x）取得最大值为2×1+1=3
∴f（x）在[0， ]上的最大值为3，最小值为1- ．
【解析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求a的值．（Ⅱ）x∈[0， ]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求f（x）最大值和最小值．