题目内容
【题目】已知椭圆E: =1(a>b>0)经过点(2
,1),且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P(x,y)是椭圆E上的动点,M(2,0)为一定点,求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标.
【答案】解:(Ⅰ)由题意可知:2b=a,
将(2 ,1)代入椭圆方程:
,
解得:b2=4,a2=16,
∴椭圆E的方程 ;
(Ⅱ)由丨PM丨2=(x﹣2)2+y2 , 由P(x,y)在椭圆上,(﹣4≤x≤4)则y2=4﹣ ,
∴丨PM丨2=x2﹣4x+4+4﹣ =
x﹣4x+8=
(x+
)+
,
∴当x=﹣ 时,丨PM丨取最小值,最小值为
,
∴当x=﹣ ,解得:y=±
,
∴|PM|的最小值 ,P点的坐标(﹣
,±
).
【解析】(Ⅰ)由题意求得2b=a,将点(2 ,1),代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)利用两点之间的距离公式,求得丨PM丨2=(x﹣2)2+y2 , 由P在椭圆上,则y2=4﹣
,代入利用二次函数的性质,即可求得|PM|的最小值及P点坐标.
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程,需要了解椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
才能得出正确答案.
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