题目内容
【题目】如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=1200．
(1)求线段BD的长与圆的面积．
(2)求四边形ABCD的周长的最大值．
【答案】（1）
，圆的面积为
；（2）
．
【解析】
(1)由题意结合圆的内接四边形的性质求得各角的角度值，然后在
中应用余弦定理求得BD的值，最后结合正弦定理确定圆的半径即可求解圆的面积；
(2)解法一：设∠CBD=θ，那么00<θ<600，结合正弦定理得到周长关于
的函数解析式，利用三角函数的性质确定周长的最大值即可；
解法二：设
，
，在
中应用余弦定理得和均值不等式到x+y的范围，最后确定周长的范围即可，注意等号成立的条件.
(1)由于四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠BCD+∠BAD=1800，
由题设知∠BCD=1200，所以∠BAD=600，
在中由余弦定理得
，
．
．
由正弦定理得
，
，
．
(2)解法一：设∠CBD=θ，那么00<θ<600，
在中有正弦定理得
，
，
，
四边形ABCD的周长=5+
=
，
由于00<θ<600，所以600<θ+600<1200，
所以θ+600=900，即所以θ=300时，四边形ABCD的周长取得最大值．
解法二：设，，在中由余弦定理得
，
，
，
，
．
．
四边形ABCD的周长
，当且仅当
时上式取等号，
四边形ABCD的周长最大值为．
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