Question

【题目】已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（1）=﹣2．
（1）判断f（x）的奇偶性及单调性并证明你的结论；
（2）若对任意x∈R，不等式f（ax2）﹣2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0．

取y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），

∴f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立，∴f（x）为奇函数．

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0，

∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），又f（x）为奇函数，

∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）是R上的减函数

（2）解：f（x）为奇函数，整理原式得f（ax2）+f（﹣2x）＜f（x）+f（﹣2），

则f（ax2﹣2x）＜f（x﹣2），

∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴ax2﹣2x＞x﹣2，

当a=0时，﹣2x＞x﹣2在R上不是恒成立，与题意矛盾；

当a＞0时，ax2﹣2x﹣x+2＞0，要使不等式恒成立，则△=9﹣8a＜0，即a＞ ；

当a＜0时，ax2﹣3x+2＞0在R上不是恒成立，不合题意．

综上所述，a的取值范围为（ ，+∞）

【解析】（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），可得f（0）=0．取y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），即可判断出奇偶性．任取x1 ， x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2 ， 可得x2﹣x1＞0，f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0，化简即可得出单调性．（2）利用函数的奇偶性与单调性、不等式的解法即可得出．