题目内容

6.已知x,y∈(-∞,0),且x+y=-1,则xy+$\frac{1}{xy}$有(  )
A.最大值$\frac{17}{4}$B.最小值$\frac{17}{4}$C.最小值-$\frac{17}{4}$D.最大值-$\frac{17}{4}$

分析 由基本不等式易得xy∈(0,$\frac{1}{4}$],换元可得z=t+$\frac{1}{t}$,t∈(0,$\frac{1}{4}$],由“对勾函数”的单调性可得.

解答 解:∵x,y∈(-∞,0),且x+y=-1,
∴-x,-y∈(0,+∞),且(-x)+(-y)=1,
∴由基本不等式可得xy=(-x)(-y)≤$[\frac{(-x)+(-y)}{2}]^{2}$=$\frac{1}{4}$
当且仅当-x=-y即x=y=-$\frac{1}{2}$时,上式取最大值$\frac{1}{4}$,即xy∈(0,$\frac{1}{4}$],
令xy=t,则t∈(0,$\frac{1}{4}$],已知式子化为z=t+$\frac{1}{t}$,
由函数的单调性易得函数z=t+$\frac{1}{t}$在t∈(0,$\frac{1}{4}$]上单调递减,
∴当t=$\frac{1}{4}$时,xy+$\frac{1}{xy}$有最小值$\frac{1}{4}$+4=$\frac{17}{4}$,
故选:B.

点评 本题考查基本不等式求最值,涉及“对勾函数”的单调性,属基础题.

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