题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线与圆
相切,求
的值;
(2)若函数在
上存在极值,求
的取值范围;
(3)若函数有两个零点,求
的取值范围.
【答案】(1);(1)
;(2)
.
【解析】分析:(1)求出的导函数,将
代入求出切线斜率,根据点斜式写出切线方程.再利用直线与圆相切的条件:圆心到切线的距离等于圆的半径,即可求得到
的值.
(2)将函数在
上存在极值,转化为
在
上存在零点,且零点左右
符号相反.由题可知
在
上的增函数,根据零点存在性定理得
,求解不等式组得到
的取值范围.
(3)根据在
上的增函数,存在极小值点
,
,且在
左右分别找到
和
,满足
,
时,求解出
的取值范围.
详解:解:(1)∵,由
,
,故曲线
在点
处的切线方程为:
,整理为:
,
由切线与圆相切有
,解得:
.
(2)∵为
上的增函数,
∴,即
,解得:
.
(3)由,当
时由函数
为增函数,
则函数若存在零点,有且仅有一个,令
.
①当时,
,
令,由
有
,
故当时函数
单调递增,当
单调递减,
又由,
,
,
可知当时
,此时函数
单调递减;当
时
,此时函数
单调递增,
故,此时函数
有且只有一个零点.
②当时,由
,
,故方程
在区间
上有解.
③当时,由
,
,
故方程在区间
上有解,
由上知当时函数
有唯一的极小值点,记为
,有
,可得
,
要使得函数有两个零点,至少需要
,可得
,
由函数单调递增,且
,可得:
,由
,可得
,
由上知当时,
,且
,
而
,
由常用不等式,可知
,故
,
又,
故
,
故此时函数有且仅有两个零点,
由上知的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目