题目内容
【题目】小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为
，第二次投篮命中的概率为
，前两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为
，否则为
.
（1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；
（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量
，求的概率分布及数学期望.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】分析：（1）先求小陈同学三次投篮都没有命中的概率，再用1减得结果，（2）先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果.
详解：（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－
)×(1－
)×(1－
)＝；
所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－＝.
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．
P(ξ＝0)＝；
P(ξ＝1)＝×(1－)×(1－
)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1×)×＝；
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝
；P(ξ＝3)＝××＝
；
故随机变量ξ的概率分布为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×=＋3×＝．
【题目】根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：
组别 | PM2.5浓度 | 频数（天） | 频率 |
第一组 | （0，25] | 3 | 0.15 |
第二组 | （25，50] | 12 | 0.6 |
第三组 | （50，75] | 3 | 0.15 |
第四组 | （75，100] | 2 | 0.1 |
（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图． ①求图4中a的值；
②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．
（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期望．
