Question

【题目】已知函数f（x）= 其中P，M是非空数集，且P∩M=，设f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．
（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；
（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；
（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．

Answer 1

【答案】解：（I）∵P=（﹣∞，0），∴f（P）={y|y=|x|，x∈（﹣∞，0）}=（0，+∞），
∵M=[0，4]，∴f（M）={y|y=﹣x2+2x，x∈[0，4]}=[﹣8，1]．
∴f（P）∪f（M）=[﹣8，+∞）
（II）若﹣3∈M，则f（﹣3）=﹣15[﹣3，2a﹣3]，不符合要求
∴﹣3∈P，从而f（﹣3）=3
∵f（﹣3）=3∈[﹣3，2a﹣3]
∴2a﹣3≥3，得a≥3
若a＞3，则2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1=﹣x2+2x
∵P∩M=，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a
∴x0=2a﹣3≤a，得a≤3，与前提矛盾
∴a=3
此时可取P=[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M=[﹣1，0），满足题意
（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）=0，∴x∈M
∴（﹣∞，0）M，同理可证：（1，+∞）P
若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，则1＞f（x0）=﹣ +2x0＞x0 ，
于是[x0 ， ﹣ +2x0]M
记x1=﹣ +2x0∈（0，1），x2=﹣ +2x1 ， …
∴[x0 ， x1]∈M，同理可知[x1 ， x2]∈M，…
由xn+1=﹣ +2xn ， 得1﹣xn+1=1+ ﹣2xn=（1﹣ ）2；
∴1﹣xn=（1﹣ ）2=（1﹣xn﹣2）22=…=（1﹣x0）2n
对于任意x∈[x0 ， 1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然数nx ， 则
x∈[xnx ， xnx+1]M
∴[x0 ， 1）M
综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：
P=（0，t）∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1
或者P=（0，t]∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1
或者P=[1，+∞），M=（﹣∞，1]
或者P=（0，+∞），M=（﹣∞，0]
【解析】（I）利用y=|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域，再求其并集即可；（II）抓住线索﹣3∈P∪M，逐层深入，先判断﹣3∈P，得a的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a的值；（III）现根据函数的单调性确定∴（﹣∞，0）M，（1，+∞）P，再证明在（0，1）上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合P，M