题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥平面ABCD,
(Ⅰ)求证:平面PED⊥平面PAC;
(Ⅱ)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD
结合AB⊥AD,可得
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系o﹣xyz,如图所示
可得A(0,0,0)D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),
P(0,0,λ) (λ>0)
∴ ,
,
得 ,
,
∴DE⊥AC且DE⊥AP,
∵AC、AP是平面PAC内的相交直线,∴ED⊥平面PAC.
∵ED平面PED∴平面PED⊥平面PAC
(Ⅱ)由(Ⅰ)得平面PAC的一个法向量是 ,
设直线PE与平面PAC所成的角为θ,
则 ,解之得λ=±2
∵λ>0,∴λ=2,可得P的坐标为(0,0,2)
设平面PCD的一个法向量为 =(x0 , y0 , z0),
,
由 ,
,得到
,
令x0=1,可得y0=z0=﹣1,得 =(1,﹣1,﹣1)
∴cos< ,
由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角,
∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为 .
【解析】(I)由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD,从而得到AB、AD、AP两两垂直,因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴,建立坐标系o﹣xyz,得A、D、E、C、P的坐标,进而得到 、
、
的坐标.由数量积的坐标运算公式算出
且
,从而证出DE⊥AC且DE⊥AP,结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC,从而得到平面PED⊥平面PAC;(II)由(Ⅰ)得平面PAC的一个法向量是
,算出
、
夹角的余弦,即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值,由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2.利用垂直向量数量积为零的方法,建立方程组算出
=(1,﹣1,﹣1)是平面平面PCD的一个法向量,结合平面PAC的法向量
,算出
、
的夹角余弦,再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知函数f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,下列关于函数f(x)的命题:
x | ﹣1 | 0 | 4 | 5 |
f(x) | 1 | 2 | 2 | 1 |
(1)函数y=f(x)是周期函数;
(2)函数f(x)在(0,2)上是减函数;
(3)如果当x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
(4)当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a有4个零点.
其中真命题的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个