题目内容
【题目】已知数列{an}满足条件（n﹣1）an+1=（n+1）（an﹣1），且a2=6，
（1）计算a1、a3、a4 ， 请猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设bn=an+n（n∈N*），求 
的值．
【答案】
（1）解：当n=1时，a1=1，且a2=6
当n=2时，a3=3（a2﹣1）=15，
当n=3时，2a4=4（a3﹣1），∴a4=28，
猜测 
下面用数学归纳法证明：
ⅰ当n=1，2，3，4时，等式 已成立
ⅱ假设当n=k时， 
则由（k﹣1）ak+1=（k+1）（ak﹣1），有： 
=2k2+3k+1=2（k+1）2﹣（k+1）
即n=k+1时，等式也成立
综上， 成立
（2）解：bn=an+n=2n2
∴bn﹣2=2（n﹣1）（n+1）
∴ 
= 
（ 
）
∴ 
= 
= 
= 
【解析】（1）计算前几项，猜想数列的通项，再利用数学归纳法进行证明；（2）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可求得结论．
【考点精析】利用数学归纳法的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．
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