题目内容
【题目】已知函数f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)若对任意 恒成立,求实数m的最大值.
【答案】
(1)解:∵f(x)=xlnx,
∴f'(x)=lnx+1,
∴f'(x)>0有 ,∴函数f(x)在
上递增,f'(x)<0有
,
∴函数f(x)在 上递减,
∴f(x)在 处取得极小值,极小值为
(2)解:∵2f(x)≥﹣x2+mx﹣3
即mx≤2xlnx+x2+3,又x>0,
∴ ,
令 ,
令h'(x)=0,解得x=1或x=﹣3(舍)
当x∈(0,1)时,h'(x)<0,函数h(x)在(0,1)上递减
当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,函数h(x)在(1,+∞)上递增,
∴h(x)min=h(1)=4.
∴m≤4,
即m的最大值为4.
【解析】(1)求函数的导数,利用函数单调性和极值之间的关系即可求f(x)的单调区间和极值;(2)利用不等式恒成立,进行参数分离,利用导数即可求出实数m的最大值.
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