Question

【题目】已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC= BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F，G分别为B1D，AE的中点．

（1）求三棱锥E﹣ACB1的体积；
（2）证明：B1E∥平面ACF；
（3）证明：平面B1GD⊥平面B1DC．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，AD∥EC且AD=EC，所以四边形ADCE为平行四边形，

∴AE=DC=a，

∴△ABE为等边三角形，

∴∠AEC=120°，

∴

连结B1G，则B1G⊥AE，又平面B1AE⊥平面AECD交线AE，

∴B1G⊥平面AECD且

∴

（2）证明：连接ED交AC于O，连接OF，

∵AEDC为菱形，且F为B1D的中点，

∴FO∥B1E，

又B1E面ACF，FO平面ACF，

∴B1E∥平面ACF

（3）证明：连结GD，则DG⊥AE，又B1G⊥AE，B1G∩GD=G，

∴AE⊥平面B1GD．

又AE∥DC，∴DC⊥平面B1GD，又DC平面B1DC

∴平面B1GD⊥平面B1DC．

【解析】（1）由题意知，AD∥EC且AD=EC，所以四边形ADCE为平行四边形，得到AE=DC，得到∠AEC=120°，首先求出△AEC的面积，进一步求出高B1G，利用体积公式可求；（2）连接ED交AC于O，连接OF，利用AEDC为菱形，且F为B1D的中点得到FO∥B1E，利用线面平行的判定定理可证；（3）证明：连结GD，则DG⊥AE，又B1G⊥AE，B1G∩GD=G，判断AE⊥平面B1GD，利用面面垂直的判定定理可证．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．