Question

【题目】已知函数f（x）对任意的实数满足：f（x+3）=﹣ ，且当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2 ， 当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）= ．

Answer 1

【答案】336
【解析】解：由题意知，f（x+3）=﹣ ， 则f（x+6）=﹣ =f（x），
∴f（x+6）=f（x），且函数f（x）的周期6，
∵﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2 ，
当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，
f（1）=1，f（2）=2，
f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，
f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，
f（5）=f（﹣1）=﹣1，
f（6）=f（0）=0，
故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，
而2016÷6=336
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 016）
=336×（f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6））=336，
故答案为：336．
根据题意可得f（x+6）=f（x），求出函数的周期，由解析式和周期性依次求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再求和，最后运用周期性求f（1）+f（2）+…+f（2013）+f（2016）的值即可．