Question

【题目】已知各项为正的数列{an}是等比数列，a1=2，a5=32，数列{bn}满足：对于任意n∈N* ， 有a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）2n+1+2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令f（n）=a2+a4+…+a2n ， 求 的值；
（3）求数列{bn}通项公式，若在数列{an}的任意相邻两项ak与ak+1之间插入bk（k∈N*）后，得到一个新的数列{cn}，求数列{cn}的前100项之和T100 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=2，a5=32，

∴q= =2，

∴an=2n

（2）解：f（n）=a2+a4+…+a2n=22+24+…+22n= = ，f（n+1）= ．

∴ = = =4

（3）解：∵a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）2n+1+2，

∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1=（n﹣2）2n+2，

两式相减得：anbn=（n﹣1）2n+1+2﹣（n﹣2）2n+2=n2n，即bn= =n（n≥2），

又∵a1b1=2，即b1=1满足上式，

∴bn=n；

设Sn表示数列{cn}的前n项之和，

S100=（a1+a2+…+a50）+（b1+b2+…+b50）

=2+22+…+250+1+2+…+50

= +

=251+1273

【解析】（1利用q= ，即可得出．（2）利用等比数列的求和公式可得f（n）= ，f（n+1）= ．再利用极限的运算法则即可得出．（3）由a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）2n+1+2，当n≥2时，a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1=（n﹣2）2n+2，两式相减得：可得bn= =n（n≥2），b1=1满足上式，可得bn=n．设Sn表示数列{cn}的前n项之和，S100=（a1+a2+…+a50）+（b1+b2+…+b50），即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．