Question

3．已知数列{a_n}和{b_n}对任意的n∈N^*满足${a_1}{a_2}…{a_n}={3^{{b_n}-n}}$，若数列{a_n}是等比数列，且a₁=1，b₂=b₁+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}（n∈{N^*}）$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件可知${a}_{1}={3}^{{b}_{1}-1}$=1，解得b₁=1，可得b₂=3．由a₁a₂=${3}^{{b}_{2}-2}$=3，解得a₂，
又数列{a_n}是等比数列，则公比为$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，即可得出a_n，又${a_1}{a_2}…{a_n}={3^{{b_n}-n}}$=3^{0+1+2+…+（n-1）}，即可得出b_n．
（Ⅱ）由题意得c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由条件可知${a}_{1}={3}^{{b}_{1}-1}$=1，解得b₁=1，
∴b₂=b₁+2=3．
∴a₁a₂=${3}^{{b}_{2}-2}$=3，解得a₂=3，
又数列{a_n}是等比数列，则公比为$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3，
于是a_n=3^n-1，
又∴${a_1}{a_2}…{a_n}={3^{{b_n}-n}}$=3^{0+1+2+…+（n-1）}=${3}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴b_n-n=$\frac{n（n-1）}{2}$，
解得b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅱ）由题意得c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴S_n=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n-1}}}{1-\frac{1}{3}}$-2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$-2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2}{n+1}$-$\frac{1}{2×{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．