题目内容
3.过双曲线16x2-9y2=144的-个焦点作-条渐近线的平行线,与双曲线交于一点P.点P与双曲线的两个顶点所构成的三角形的面积为$\frac{32}{5}$.分析 求得双曲线的a,b,c,设出一条渐近线方程和一个焦点,得到平行线方程,代入双曲线方程,可得交点P的坐标,再由三角形的面积公式计算可得所求.
解答 解:双曲线16x2-9y2=144即为:
$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1,则a=3,b=4,c=5.
设焦点为(5,0),一条渐近线为y=$\frac{4}{3}$x,
即有与渐近线平行的直线为y=$\frac{4}{3}$(x-5),
代入双曲线方程16x2-9y2=144,可得:
x2-(x-5)2=9,
解得x=$\frac{17}{5}$,y=-$\frac{32}{15}$.
即P($\frac{17}{5}$,-$\frac{32}{15}$),
则点P与双曲线的两个顶点,
所构成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{32}{15}$=$\frac{32}{5}$.
故答案为:$\frac{32}{5}$.
点评 本题考查双曲线的方程和性质,考查直线方程和双曲线方程联立,解方程求交点,考查三角形的面积公式的计算,属于基础题.
练习册系列答案
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A. | y=$\frac{{x}^{2}}{x}$ | B. | y=($\sqrt{x}$)2 | C. | y=($\root{3}{x}$)3 | D. | y=|x| |
16.单位正方体ABCD-A1B1C1O在空间直角坐标系中的位置如图所示,动点M(a,a,0),N(0,b,1),其中0≤a≤1,0≤b≤1.设由M,N,O三点确定的平面截该正方体的截面为E,那么( )
A. | 对任意点M,存在点N使截面E为三角形 | |
B. | 对任意点M,存在点N使截面E为正方形 | |
C. | 对任意点M和N,截面E都是梯形 | |
D. | 对任意点N,存在点M使得截面E为矩形 |