题目内容

15.已知双曲线以两坐标轴为对称轴,点($\frac{16}{5}$,$\frac{12}{5}$)是其准线和渐近线的交点,求双曲线的标准方程.

分析 讨论焦点的位置,可设双曲线的方程,求得准线方程和渐近线方程,由题意可得方程,解方程即可得到所求双曲线的方程.

解答 解:若焦点在x轴上,设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a,b>0),
则渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x,准线方程为x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$,
由题意可得$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{16}{5}$,$\frac{12}{5}$=$\frac{16}{5}$•$\frac{b}{a}$,
又a2+b2=c2
解得a=4,b=3,c=5,
即有双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1;
若焦点在y轴上,设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{a{′}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{b{′}^{2}}$=1(a',b'>0),
则渐近线方程为y=±$\frac{a′}{b′}$x,准线方程为y=±$\frac{a{'}^{2}}{c'}$,
由题意可得$\frac{a{'}^{2}}{c'}$=$\frac{12}{5}$,$\frac{12}{5}$=$\frac{16}{5}$•$\frac{a′}{b′}$,
又a'2+b'2=c'2
解得a'=4,b'=$\frac{16}{3}$,
即有双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{256}{9}}$=1.
综上可得,双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1或$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{256}{9}}$=1.

点评 本题考查双曲线的方程和性质,考查准线方程和渐近线方程的应用,考查运算能力,属于基础题.

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