Question

13．已知函数f（x）=-x²+2ex+m-1，g（x）=x+$\frac{{e}^{2}}{x}$（x＞0）（e为自然对数的底）
（1）若f（x）的两个零点x₁，x₂，满足x₁＜1＜x₂，试求m的取值范围；
（2）若g（x）=m有零点，求m的取值范围；
（3）确定m的取值范围，使得函数h（x）=g（x）-f（x）存在两个零点．

Answer 1

分析 （1）先求出x₁+x₂，x₁•x₂，由题意得：x₁+x₂=2e，x₁•x₂=1-m，代入求出即可；
（2）运用基本不等式，即可得到g（x）的最小值，从而求出m的范围；
（3）函数h（x）=g（x）-f（x）有两个零点，即为y=f（x）和y=g（x）的图象有两个交点，分别求得函数f（x）的最大值和g（x）的最小值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=-x²+2ex+m-1，
令f（x）=0，则x²-2ex+1-m=0，
则x₁+x₂=2e，x₁•x₂=1-m，
若f（x）的两个零点x₁，x₂，满足x₁＜1＜x₂，
则（x₁-1）（x₂-1）＜0，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，
∴1-m-2e+1＜0，
解得：m＞2-2e；
（2）当x＞0时，g（x）=x+$\frac{{e}^{2}}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{{e}^{2}}{x}}$=2e，
当且仅当x=e时，g（x）取得最小值，且为2e，
若g（x）=m有零点，只需m≥g（x）_最小值=2e，
∴m≥2e；
（3）函数h（x）=g（x）-f（x）有两个零点，
即为y=f（x）和y=g（x）的图象有两个交点，
由于g（x）在x=e处取得最小值2e，
f（x）=-（x-e）²+e²+m-1，即有f（x）在x=e处取得最大值e²+m-1，
则有e²+m-1＞2e，
解得m＞2e+1-e²．
则实数m的取值范围是（2e+1-e²，+∞）．

点评 本题考查函数的最值的求法，同时考查基本不等式的运用和二次函数的最值的求法，以及函数和方程的转化思想的运用，属于中档题．