Question

14．如图所示，已知A（-2，0），B（2，-2），C（0，5），过点M（-4，2）且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分，求此两部分面积的比值．

Answer 1

分析 由题意可得直线l和AB的方程，可得点C到直线的距离，进而可得三角形的相似比，可得面积比，可得答案．

解答 解：由题意可得AB的斜率k_AB=$\frac{0-（-2）}{-2-2}$=$-\frac{1}{2}$，
∴直线l的斜率也为$-\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程为：y-2=$-\frac{1}{2}$（x+4），
化为一般式可得x+2y=0，
同理可得直线AB的方程为x+2y+2=0，
∴C（0，5）到直线l的距离d=$\frac{|0+2×5|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=2$\sqrt{5}$，
C（0，5）到直线AB的距离d′=$\frac{|0+2×5+2|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$，
∴△CPQ与△CAB的相似比为$\frac{d}{d′}$=$\frac{5}{6}$，面积比为（$\frac{5}{6}$）²=$\frac{25}{36}$，
∴所求两部分面积的比值为$\frac{25}{11}$

点评 本题考查三角形的面积公式，涉及直线的方程和平行关系以及点到直线的距离，属中档题．