Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，（x＞1）\\（4-\frac{a}{2}）x+2，（x≤1）\end{array}$是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若分段函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，（x＞1）\\（4-\frac{a}{2}）x+2，（x≤1）\end{array}$是R上的单调递增函数，则每一段均为增函数，且当x=1时，左段函数值不大于右段函数值，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：根据函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}，（x＞1）\\（4-\frac{a}{2}）x+2，（x≤1）\end{array}\right.$是R上的单调递增函数，
可得：每一段均为增函数，且当x=1时，左段函数值不大于右段函数值，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{4-\frac{a}{2}＞0}\\{{a^1}≥（{4-\frac{a}{2}}）•1+2}\end{array}}\right.⇒4≤a＜8$，
故实数a的取值范围为[4，8）．

点评 本题考查的知识点是分段函数的单调性，熟练掌握并正确理解分段函数的单调性的实际含义，是解答的关键．