Question

【题目】在如图所示的几何体中，正方形所在的平面与正三角形ABC所在的平面互相垂直， ，且， 是的中点．

（1）求证： ∥平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) .

【解析】试题分析：证明线面平则只需在平面内找一线与之平行即可，通常找中位线和建立平行四边形来证明，本题中可以容易发现连接AE交BF于点N，连接MN，可证MN为中位线；（2）二面角的问题通常借助于空间坐标系来求解，本题中可建立如图的坐标系，然后求出各面的法向量，再根据向量的夹角公式即可得出结论

解析：（1）连接AE交BF于点N，连接MN．

因为ABEF是正方形，所以N是AE的中点，

又M是ED的中点，所以MN∥AD．

因为AD平面BFM，MN平面BFM，

所以AD∥平面BFM．

（2）因为ABEF是正方形，所以BE⊥AB，

因为平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，

所以BE⊥平面ABC，因为CD∥BE，所以取BC的中点O，

连接OM，则OM⊥平面ABC，因为△ABC是正三角形，所以OA⊥BC，

所以以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：

设CD=1，则B（0，1，0），E（0，1，2），D（0，﹣1，1），

，．

设平面BMF的一个法向量为，

则，所以，

令，则z=﹣6，y=﹣9，所以．

又因为是平面BME的法向量，

所以．

所以二面角E﹣BM﹣F的余弦值为．