题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对任意,都有
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,
在
为增函数,
在
为减函数;当
时,
在
为增函数,在
为减函数;(2)
.
【解析】试题分析:(1)先求出函数导数,根据导函数符号的判定来下结论,因为此时导函数分子带参数无法确定符号,故进行讨论,通常根据参数大于0,等于0,小于0一一讨论定号即可得出单调性,但要注意定义域的限制;(2)恒成立问题通常转化最值问题求解,求参数取值范围我们一般会优先考虑参数分离形成新函数求最值,本题即可
在
上恒成立, 即
在
上恒成立。,接下来分析函数
在
上的最大值即可得出结论
解析:(1)由题知: ,
当m≤0时, >0在x∈(0,+∞)时恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
当m>0时, ,
令f′(x)>0,则 ;令f′(x)<0, 则
.
∴f(x)在为增函数,f(x)在
为减函数.
(2)法一:由题知: 在
上恒成立,
即在
上恒成立。
令,所以
令g′(x)>0,则;令g′(x)<0,则
.
∴g(x)在上单调递增,在
上单调递减.
∴ ,∴
.
法二:要使f(x) ≤0恒成立,只需,
(1)当m≤0时,f(x)在[1,e]上单调递增,所以 ,
即,这与m≤0矛盾,此时不成立.
(2)当m>0时,
① 若即
时,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以,即
, 这与
矛盾,此时不成立.
②若1< 即
时,f(x)在
上单调递增,在
上单调递减 .
所以即
,
解得 ,又因为
,所以
,
③ 即m
2时,f(x)在
递减,则
,
∴ 又因为
,所以m
2,综上
.
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