Question

【题目】已知函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），且当x≤0时，f（x）=x3 ， 若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2 f（x）恒成立，则实数t的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[ ，+∞）
【解析】解：由f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），得f（x0）=﹣f（﹣x﹣1+1）=﹣f（x），
即函数f（x）是奇函数，
若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），
即f（x）=x3 ， （x＞0），
综上f（x）=x3 ，
则不等式f（x+t）≥2 f（x）等价为不等式f（x+t）≥f（ x），
∵f（x）=x3 ， 为增函数，
∴不等式等价为x+t≥ x在x∈[t，t+2]恒成立，
即：t≥（ ﹣1）x，在x∈[t，t+2]恒成立，
即t≥（ ﹣1）（t+2），
即（2﹣ ）t≥2（ ﹣1），
则t≥ = ，
故实数t的取值范围[ ，+∞），
故答案为：[ ，+∞）
根据条件确定函数是奇函数，求出函数f（x）的表达式，并判断函数的单调性，利用函数的单调性将不等式恒成立进行转化，即可求出t的最大值．