Question

【题目】已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c在x=1处取得极值﹣3﹣c．
（1）试求实数a，b的值；
（2）试求函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3

又对f（x）求导得f′（x）=x3（4alnx+a+4b）

由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12

（2）解：由（1）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1

当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数；

当x＞1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数

因此f（x）的单调递减区间为（0，1），而f（x）的单调递增区间为（1，+∞）

（3）解：由（II）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣3﹣c，此极小值也是最小值，

要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2

即2c2﹣c﹣3≥0，从而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得c≥ 或c≤﹣1

所以c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[ ，+∞）

【解析】（1）因为x=1时函数取得极值得f（x）=﹣3﹣c求出b，然后令导函数=0求出a即可；（2）解出导函数为0时x的值讨论x的取值范围时导函数的正负决定f（x）的单调区间；（3）不等式f（x）≥﹣2c2恒成立即f（x）的极小值≥﹣2c2 ， 求出c的解集即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．