题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)证明当时,关于
的不等式
恒成立;
(Ⅲ)若正实数满足
,证明
.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析
【解析】试题分析:(1)求导函数,从而可确定函数的单调性;(2)构造函数,利用导数研究其最值,将恒成立问题进行转化;(3)将代数式
放缩,构造关于
的一元二次不等式,解不等式即可.
试题解析:(Ⅰ)
,
由,得
,
又,所以
.
所以的单调减区间为
,函数
的增区间是
.
(Ⅱ)令
,
所以
.
因为,
所以.
令,得
.
所以当,
;
当时,
.
因此函数在
是增函数,在
是减函数.
故函数的最大值为
.
令,因为
,
又因为在
是减函数.
所以当时,
,
即对于任意正数总有
.
所以关于的不等式
恒成立.
(Ⅲ)由,
即
,
从而
.
令,则由
得,
.
可知,在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
所以,
所以,
又,
因此成立.
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