题目内容
20.已知动圆C过定点(1,0)且与直线x=-1相切(1)求动圆圆心C的轨迹方程;
(2)设过定点M (-4,0)的直线?与圆心C的轨迹有两个交点A,B,坐标原点为O,设∠xOA=α,∠xOB=β,试探究α+β是否为定值,若是定值,求定值,若不是定值,说明理由.
分析 (1)设圆的圆心为(x,y),运用两点的距离和直线和圆相切的条件:d=r,化简整理,即可得到轨迹方程;
(2)设过定点M(-4,0)的直线l的方程为x=my-4,代入抛物线方程可得,y2-4my+16=0,设A($\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$,y1),B($\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$,y2),运用韦达定理和直线的斜率公式,计算即可得到定值.
解答 解:(1)设圆的圆心为(x,y),
由动圆C过定点(1,0)且与直线x=-1相切,
可得$\sqrt{(x-1)^{2}+{y}^{2}}$=|x+1|,
化简可得y2=4x;
(2)设过定点M(-4,0)的直线l的方程为x=my-4,
代入抛物线方程可得,y2-4my+16=0,
设A($\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$,y1),B($\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$,y2),
则y1+y2=4m,y1y2=16,
由题意当m>0,可得OA的斜率为k1=tanα=$\frac{4}{{y}_{1}}$,
OA的斜率为k2=tanβ=$\frac{4}{{y}_{2}}$,
即有tanαtanβ=1,
则α+β=90°;
当m<0时,同样有tanαtanβ=1,
则α+β=90°.
故α+β为定值,且为90°.
点评 本题考查轨迹方程的求法,同时考查直线和圆相切的条件,以及抛物线的方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理,考查运算求解能力,属于中档题.
练习册系列答案
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