Question

17．已知函数f（x）=mx+$\frac{1}{x}$-2（m为参数）．
（1）当m=1时，求函数f（x）的零点；
（2）当m≠0时，求函数h（x）=xf（x）的单调递减区间；
（3）若对任意x∈（0，1]恒有2^f（x）＞2，试确定参数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）m=1时，求出f（x）=x$+\frac{1}{x}$-2，根据零点的定义，解方程f（x）=0即可得出f（x）的零点；
（2）先求出h（x）=mx²-2x+1，从而根据二次函数的单调区间的求法，求该函数在定义域{x|x≠0}上的单调递减区间即可；
（3）不等式2^f（x）＞2等价于f（x）＞1，根据x＞0，从而进一步等价于mx²-3x+1＞0①，m=0时容易看出上面不等式不能恒成立，从而可讨论m：可设g（x）=mx²-3x+1，m＞0时，要使①成立，需△＜0，从而可得出$m＞\frac{9}{4}$；而m＜0时，容易得到g（x）＞0不能恒成立，从而最后写出m的取值范围即可．

解答 解：（1）m=1时，f（x）=x$+\frac{1}{x}-2$；
∴解x+$\frac{1}{x}$-2=0得，x=1；
∴函数f（x）的零点为x=1；
（2）h（x）=mx²-2x+1，m≠0；
∴h（x）为二次函数，且定义域为{x|x≠0}；
h（x）的对称轴为x=$\frac{1}{m}$；
①若m＞0，则h（x）的单调递减区间为（-∞，0），（0，$\frac{1}{m}$]；
②若m＜0，则h（x）的单调递减区间为（$\frac{1}{m}$，0），（0，+∞）；
（3）由条件知，对任意的x∈（0，1]，f（x）＞1恒成立；
即$mx+\frac{1}{x}-3＞0$恒成立；
即mx²-3x+1＞0在x∈（0，1]上恒成立；
设g（x）=mx²-3x+1，m=0时显然不符合条件；
①若m＞0，∵g（x）的对称轴$x=\frac{3}{2m}＞0$；
∴只能△=9-4m＜0，即$m＞\frac{9}{4}$时满足g（x）＞0恒成立；
②若m＜0，g（1）=m-2＜0；
∴g（x）＞0不恒成立；
∴综上得，参数m的取值范围为（$\frac{9}{4}$，+∞）．

点评 考查函数零点的定义及求法，解一元二次方程，以及二次函数的对称轴，二次函数的单调性及单调区间的求法，注意h（x）的定义域，弄清二次项系数符号和二次函数图象开口方向的关系，要熟悉二次函数图象．