Question

已知集合A={z₁||z₁+1|≤1，z₁∈C}，B={z₂|z₂=z₁+i+m，z₁∈A，m∈R}．
（1）当A∩B=∅时，求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使A∩B=A？

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,交集及其运算

专题：计算题,作图题,集合,数系的扩充和复数

分析：（1）由题意，作出其几何意义，从而可得集合A={z₁||z₁+1|≤1，z₁∈C}表示了复平面内以（-1，0）为圆心，1为半径的圆及其内部，集合B={z₂|z₂=z₁+i+m，z₁∈A，m∈R}表示了由集合A中的点向上平移一个单位，再左右平移|m|个单位得到的点，故也是半径为1的圆，其圆心为（m-1，1）；从而解得；
（2）A∩B=A可化为两个圆重合，显然不可能．

解答： 解：（1）由题意，
集合A={z₁||z₁+1|≤1，z₁∈C}表示了复平面内以（-1，0）为圆心，1为半径的圆及其内部，
集合B={z₂|z₂=z₁+i+m，z₁∈A，m∈R}表示了由集合A中的点向上平移一个单位，
再左右平移|m|个单位得到的点，故也是半径为1的圆，其圆心为（m-1，1）；
如图所示，

故当A∩B=∅时，

m2+1

＞2，
解得，m＞

3

或m＜-

3

；
（2）若A∩B=A，则两个圆重合，
显然不可能，
故m不存在．

点评：本题考查了复数的几何意义的应用，属于中档题．