Question

已知⊙O：，为抛物线的焦点，为⊙O外一点，由作⊙O的切线与圆相切于点，且
（1）求点P的轨迹C的方程
（2）设A为抛物线准线上任意一点，由A向曲线C作两条切线AB、AC，其中B、C为切点.求证：直线BC必过定点

Answer 1

（1）（2）见解析

(1)先求出抛物线的焦点M（2，0），设,因为,
然后根据坐标化建立方程，化简可得点P的轨迹方程.
(2)抛物线的准线为x=-2,设A,再根据，
可得以A为圆心,为半径的圆的方程为,再与圆O的方程作差可得公共弦所在直线方程，从而可找到直线所过定点.
解：（1）抛物线的焦点M（2，0）………….1分 设
 ………4分     化简得方程
P点轨迹为⊙C: …………6分
(2)抛物线准线方程为…………..7分    设A
⊙C: 化为………..　①
C(4,0),半径…………..8分    由已知得
以A为圆心,为半径的圆的方程为
即………..②……………10分
由于BC为两圆公共弦所在直线  由②－①得BC直线方程…………12分
 得    直线BC过定点…………14分