Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，试讨论的单调性；

（2）若对任意的，方程恒有个不等的实根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），在单调递增，单调递减；

，在单调递增，单调递减；

，在单调递增，单调递减，单调递增；

，在单调递增.

（2）

【解析】

（1）求出，然后对进行分类讨论，判断出的正负，从而得到的单调区间，得到答案；（2）问题等价于有两解，令，利用导数求出，求出其单调性和极值，结合图像得到，过作切线时，斜率最大，通过导数求出过一点的切线，得到最大值，从而得到取值范围.

解：（1）,

（i），令，得到，

解得，（舍）

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以在单调递增，单调递减；

（ii），令，得到

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以在单调递增，单调递减；

（iii），

令，得到，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

在单调递增，单调递减，单调递增；

（iiii），在恒成立，所以在单调递增；

综上所述，

，在单调递增，单调递减；

，在单调递增，单调递减；

，在单调递增，单调递减，单调递增；

，在单调递增.

（2）因为对任意的，方程恒有个不等的实根

所以将问题等价于有两解

令，有，

；在递增，递减；

，；

，；

有图象知要使的图像和的图像有两个交点，

，过作切线时，斜率最大.

设切点为，有，

，

此时斜率取到最大

.