题目内容
【题目】在数列
中，
，
，
（1）设
，证明：数列
是等差数列；
（2）求数列的前
项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）由
，可得
，化简得
，即可证明；（2）由（1）可得：
，
，再利用“错位相减法”、等比数列的前
项和公式即可得出.
试题解析：(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，
得
.
，又
.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知，bn＝n，
.∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1
两边乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
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【题目】某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获
（单位：
）与它的“相近”作物株数
之间的关系如下表所示：
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 51 | 48 | 45 | 42 |
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（2）在所种作物中堆积选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
