题目内容
【题目】记表示,中的最大值,如.已知函数,.
(1)设,求函数在上零点的个数;
(2)试探讨是否存在实数,使得对恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)个;(2)存在,.
【解析】
试题分析:(1)设,利用导数与单调性的关系求出,可得,则,结合图象可得零点的个数;(2)可将题意转化为对恒成立,分别求和成立即可.
试题解析:(1)设,,
令,得,递增;令,得,递减.
∴,∴,即,∴.
设,结合与在上图象可知,这两个函数的图象在上有两个交点,即在上零点的个数为.
(2)假设存在实数,使得对恒成立,
则对恒成立,
即对恒成立,
(i)设,,
令,得,递增;令,得,递减.
∴.
当,即时,,∴,
∵,∴.
故当时,对恒成立.
当,即时,在上递减,∴.
∵,∴
故当时,对恒成立.
(ii)若对恒成立,则,∴.
由(i)及(ii)得,.
故存在实数,使得对恒成立,
且的取值范围为.
练习册系列答案
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【题目】某单位每天的用电量(度)与当天最高气温(℃)之间具有线性相关关系,下表是该单位随机统计4天的用电量与当天最高气温的数据.
最高气温(℃) | 26 | 29 | 31 | 34 |
用电量 (度) | 22 | 26 | 34 | 38 |
(Ⅰ)根据表中数据,求出回归直线的方程(其中);
(Ⅱ)试预测某天最高气温为33℃时,该单位当天的用电量(精确到1度).