题目内容
【题目】记表示
,
中的最大值,如
.已知函数
,
.
(1)设,求函数
在
上零点的个数;
(2)试探讨是否存在实数,使得
对
恒成立?若存在,求
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)个;(2)存在,
.
【解析】
试题分析:(1)设,利用导数与单调性的关系求出
,可得
,则
,结合图象可得零点的个数;(2)可将题意转化为
对
恒成立,分别求
和
成立即可.
试题解析:(1)设,
,
令,得
,
递增;令
,得
,
递减.
∴,∴
,即
,∴
.
设,结合
与
在
上图象可知,这两个函数的图象在
上有两个交点,即
在
上零点的个数为
.
(2)假设存在实数,使得
对
恒成立,
则对
恒成立,
即对
恒成立,
(i)设,
,
令,得
,
递增;令
,得
,
递减.
∴.
当,即
时,
,∴
,
∵,∴
.
故当时,
对
恒成立.
当,即
时,
在
上递减,∴
.
∵,∴
故当时,
对
恒成立.
(ii)若对
恒成立,则
,∴
.
由(i)及(ii)得,.
故存在实数,使得
对
恒成立,
且的取值范围为
.
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练习册系列答案
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(℃)之间具有线性相关关系,下表是该单位随机统计4天的用电量与当天最高气温的数据.
最高气温(℃) | 26 | 29 | 31 | 34 |
用电量 (度) | 22 | 26 | 34 | 38 |
(Ⅰ)根据表中数据,求出回归直线的方程(其中
);
(Ⅱ)试预测某天最高气温为33℃时,该单位当天的用电量(精确到1度).