题目内容
【题目】已知函数
.
（1）如
是函数
的极值点，求实数
的值并讨论的单调性
；
（2）若
是函数
的极值点，且
恒成立，求实数
的取值范围（注：已知常数
满足
）.
【答案】（1）
，
在
上单调递减，在
上单调递增；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）由
是函数
的极值点，得
可得
得值，由导数和单调性的关系得其单调区间；（2）由题意知
，设
，知
得
单调递增，即
是
在
上的唯一零点，得
，
，使得
即可，结合
，得参数范围.
试题解析：（1）∵是函数的极值点，∴
.
∴，
.
令
，
，
∴
在
上单调递增，
，
.
∴当
，
；当
，
.
∴在上单调递减，在上单调递增，
此时，当
时，取极小值.
（2），设，
则
.∴
在上单调递增，
∴
在上单调递增.
∵是函数
的极值点，
∴是在上的唯一零点，
∴
.
∵
，
，
，
，
∴在
上单调递减，在
上单调递增，∴有最小值.
∴
.
∵
恒成立，
∴
，∴
，
∴
.∵
，∴
，
∴
，
.
练习册系列答案
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【题目】一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球互相独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表：
所取球的情况 | 三个球均为红色 | 三个球均为不同色 | 恰有两球为红色 | 其他情况 |
所获得的积分 | 180 | 90 | 60 | 0 |
（1）求一次摸奖中，所取的三个球中恰有两个是红球的概率；
（2）设一次摸奖中，他们所获得的积分为
，求
的分布列及均值（数学期望）
；
（3）按照以上规则重复摸奖三次，求至少有两次获得积分为60的概率．
