题目内容

3.一个数列的第n项an=[a1+(n-1)d]qn-1(q≠0),即an是一个等差数列的第n项与一个等比数列的第n的乘积,这样的数列叫做“等差×等比”数列.
(1)试判断数列an=35-2n和bn=(-2)n是否为“等差×等比”数列,如果是“等差×等比”数列,求出a1,d,q或b1,d,q的值,如果不是“等差×等比”数列,请说明理由;
(2)若{cn}是“等差×等比”数列,且c1=2,c2=-$\frac{5}{2}$,c3=2,求cn
(3)若dn=(35-2n)(-2)n-1,求dndn+1的最大值.

分析 (1)运用新定义和等差数列和等比数列的通项,即可判断和得到a1,d,q或b1,d,q的值;
(2)设cn=[a1+(n-1)d]qn-1(q≠0),运用代入法,解方程即可得到通项;
(3)令tn=dndn+1=(35-2n)(-2)n-1•(33-2n)(-2)n=(2n-33)(2n-35)(-2)2n-1,求得tn+1=(2n-33)(2n-31)(-2)2n+1,作差比较即可得到最大值.

解答 解:(1)数列an=35-2n是a1=33,d=-2的等差数列,
(-2)n是b1=-2,q=-2的等比数列,
可构成“等差×等比”数列,即有a1=33,d=-2,q=-2或b1=-2,d=q=-2;
(2)设cn=[a1+(n-1)d]qn-1(q≠0),
由c1=2,c2=-$\frac{5}{2}$,c3=2,
可得a1=2,(a1+d)q=-$\frac{5}{2}$,(a1+2d)q2=2,
解得a1=2,d=-$\frac{3}{4}$,q=-2,或a1=2,d=3,q=-$\frac{1}{2}$,
即有cn=$\frac{11-3n}{4}$•(-2)n-1或(3n-1)•(-$\frac{1}{2}$)n-1
(3)dn=(35-2n)(-2)n-1
则tn=dndn+1=(35-2n)(-2)n-1•(33-2n)(-2)n
=(2n-33)(2n-35)(-2)2n-1
tn+1=(2n-33)(2n-31)(-2)2n+1
由tn+1-tn=(2n-33)(-2)2n-1(6n-89),
当n=1,2,…,14时有t15<t14<…<t2<t1
当n=15,16有t17>t16>t15
当n=17,18,…,有t17>t18>t19>…
由t1=31×33×(-2)=-2046,
t17=1×(-1)×(-2)33<-2046,
故dndn+1的最大值为-2046.

点评 本题考查新定义的理解和运用,主要考查等差数列和等比数列的通项,同时考查数列的单调性及运用,考查运算能力,属于中档题.

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