Question

18．已知x，y∈R，$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{i}$+（y+$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=x$\overrightarrow{i}$+（y-$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{j}$，且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4．
（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）上P点的切线与椭圆C₁交于两点M、N，已知A点的坐标为（1，0），记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知两向量的模的和等于4，可得点M（x，y）的轨迹C为焦点在y轴上的椭圆，并求得a与c，结合隐含条件求得b，则点M（x，y）的轨迹C的方程可求；
（Ⅱ）设P（t，t²+h），利用导数可得MN的方程为y=2tx-t²+h，代入椭圆方程，消元可得 4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，从而有△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0；设出M、N的坐标，利用线段MN与PA的中点的横坐标相等，可得h与t的函数关系式，再利用基本不等式求得h的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{i}$+（y+$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=x$\overrightarrow{i}$+（y-$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{j}$，且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4，
∴点M（x，y）到点（ 0，$\sqrt{3}$），（0，-$\sqrt{3}$）的距离之和为4，
即2a=4，a=2，又c=$\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=4-3=1．
故点P的轨迹方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
（Ⅱ）设P（t，t²+h），由 y′=2x，
抛物线C₂在点P处的切线的斜率为 k=y′|_x=t=2t，
∴MN的方程为y=2tx-t²+h，
代入椭圆方程得：4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
化简得 4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0．
又MN与椭圆C₁有两个交点，故△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0，①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点横坐标为x₀，则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{t（{t}^{2}-h）}{2（1+{t}^{2}）}$，
设线段PA的中点横坐标为x′=$\frac{1+t}{2}$，
由已知得x₀=x′，即$\frac{t（{t}^{2}-h）}{2（1+{t}^{2}）}=\frac{1+t}{2}$，
显然t≠0，∴h=-（t+$\frac{1}{t}$+1），
当t＞0时，t+$\frac{1}{t}$≥2，当且仅当t=1时取得等号，此时h≤-3不符合①式，故舍去；
当t＜0时，（-t）+（-$\frac{1}{t}$）≥2，当且仅当t=-1时取得等号，此时h≥1，满足①式．
综上，h的最小值为1．

点评 本题考查由向量模的运算求解轨迹方程问题，考查直线l与圆锥曲线的交点问题，考查椭圆的几何性质、函数关系式的建立，考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键是确定函数关系式，属于中高档题．