半椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$和半圆x2+y2=b2组成曲线C.其中a＞b＞0.如图所示.曲线C交x轴于A.B两点.交y轴负半轴于点G．椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.F是它的一个焦点.点P是曲线C位于x轴上方的任意一点.且△PFG的周� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

半椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（y≥0）$和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0，如图所示，曲线C交x轴于A，B两点，交y轴负半轴于点G．椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F是它的一个焦点，点P是曲线C位于x轴上方的任意一点，且△PFG的周长是$2\sqrt{2}+2$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若M是半圆x²+y²=b²（y≤0）除A，B外任意一点，C（-b，a），D（b，a），连接MC，MD分别交AB于点E，F，求|AE|²+|BF|²的取值范围．

分析（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得b=c，即有G为椭圆的焦点，由椭圆的定义，可得a=2，b=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C（-1，$\sqrt{2}$），D（1，$\sqrt{2}$），设M（cosθ，sinθ），θ∈（π，2π），由直线AC方程可得E、F的坐标，运用两点的距离公式，结合三角函数的恒等变换和正弦函数的单调性，即可得到取值范围．

解答解：（Ⅰ）椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由a²-b²=c²，可得b=c，
故G为椭圆的一个焦点，即有F（0，c），G（0，-c），
由椭圆的定义可得△PFG的周长为2a+2c=2$\sqrt{2}$+2，
解得a=2，b=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C（-1，$\sqrt{2}$），D（1，$\sqrt{2}$），
设M（cosθ，sinθ），θ∈（π，2π），
则直线AC：y-$\sqrt{2}$=$\frac{sinθ-\sqrt{2}}{cosθ+1}$（x+1），
令y=0，可得E（$\frac{-\sqrt{2}cosθ-sinθ}{sinθ-\sqrt{2}}$，0），
同理求得F（$\frac{-\sqrt{2}cosθ+sinθ}{sinθ-\sqrt{2}}$，0），
|AE|²+|BF|²=（$\frac{-\sqrt{2}（cosθ+1）}{sinθ-\sqrt{2}}$）²+（$\frac{\sqrt{2}（cosθ-1）}{sinθ-\sqrt{2}}$）²=$\frac{2（2co{s}^{2}θ+2）}{（sinθ-\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{4（2-si{n}^{2}θ）}{（sinθ-\sqrt{2}）^{2}}$
=4•$\frac{\sqrt{2}+sinθ}{\sqrt{2}-sinθ}$=-4（1+$\frac{2\sqrt{2}}{sinθ-\sqrt{2}}$），
令u=sinθ∈[-1，0]，
|AE|²+|BF|²=-4（1+$\frac{2\sqrt{2}}{u-\sqrt{2}}$）是[-1，0]上的单调增函数．
则|AE|²+|BF|²=∈[12-8$\sqrt{2}$，4）即为所求．

点评本题考查椭圆和圆的定义和方程的运用，主要考查椭圆的定义和圆的参数方程的运用，考查三角函数的恒等变换公式的运用和正弦函数的单调性的运用，属于中档题．

练习册系列答案

	A．	-$\frac{{e}^{2π}（1-{e}^{2015π}）}{1-{e}^{2π}}$		B．	-$\frac{{e}^{2π}（1-{e}^{2015π）}}{1-{e}^{π}}$
	C．	-$\frac{1-{e}^{2016π}}{1-{e}^{2π}}$		D．	-$\frac{{e}^{2π}（1-{e}^{2014π}）}{1-{e}^{2π}}$

16．若x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+5y≥10}\\{2x-3y≤-6}\\{2x+y≤10}\end{array}\right.$，则z=x²+y²的最小值为4．

13．