题目内容
【题目】已知函数
，
，且
与
的图象有一个斜率为1的公切线（
为自然对数的底数）.
（1）求
；
（2）设函数
，讨论函数
的零点个数.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）由
与
的图象有一个斜率为1的公切线，分别对与求导并求出切线方程，列出等量关系可得
；
（2）利用换元将
转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数
的零点个数.
（1）
可得
.
在
处的切线方程为
，
即
.
.
在
处的切线方程为
，
故
可得.
（2）由（1）可得
，
，
令
，则
，
，
时，
有两根，
且
，
，
得：
，
在
上，
，
在
上，
，
此时，
.
又
时，
时，
.
故在和上，
各有1个零点.
时，
最小值为
，故仅有1个零点.
时，
.
其中，同，
在与上，
各有1个零点，
时，
，仅在有1个零点，
时，对方程
.
方程有两个正根，.
在
上，，在
上，，在，.
由
，可得
，
故
.
，
故
.
故在上，
，
在上，
，
在上，有1个零点：
.
时，
恒成立，
为增函数，仅有1个零点：.
综上，
或时，有1个零点，
或时，有2个零点.
【题目】根据我市房地产数据显示，今年我市前5个月新建住宅销售均价逐月上升，为抑制房价过快上涨，政府从6月份开始推出限价房等宏观调控措施，6月份开始房价得到很好的抑制，房价回落．今年前10个月的房价均价如表：
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
均价y（万元/平方米） | 0.83 | 0.95 | 1.00 | 1.05 | 1.17 | 1.15 | 1.10 | 1.06 | 0.98 | 0.94 |
地产数据研究发现，从1月份至5月份的各月均价y（万元/平方米）与x之间具有正线性相关关系，从6月份至10月份的各月均价y（万元/平方米）与x之间具有负线性相关关系．
（1）若政府不调控，根据前5个月的数据，求y关于x的回归直线方程，并预测12月份的房地产均价．（精确到0.01）
（2）政府调控后，从6月份至10月份的数据可得到y与x的回归直线方程为：
．由此预测政府调控后12月份的房地产均价．说明政府调控的必要性．（精确到0.01）
；
；
