题目内容
【题目】若存在,使得
对任意
恒成立,则函数
在
上有下界,其中
为函数
的一个下界;若存在
,使得
对任意
恒成立,则函数
在
上有上界,其中
为函数
的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列四个结论:
①1不是函数的一个下界;②函数
有下界,无上界;
③函数有上界,无下界;④函数
有界.
其中所有正确结论的编号为_______.
【答案】①②④ ;
【解析】
根据函数上界、下界及有界的概念,对①②③④四个命题逐一判断即可.
①,则
,故函数
的下界为2,选项①正确;
②,则
,则当
时,
;
当时,
,
故在
内单调递减,在
内单调递增,
所以有最小值m,使得
在
内成立,故该函数有下界,
当时,
,故该函数无上界,选项②正确;
③,则
,则当
时,
;
当时,
,当
时,
,
故在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增,
又函数在
处无意义,且
时,
,
当时,
,当
时,
,
,
综上,该函数无上界,也无下界,选项③错误;
④为周期函数,且
,当
时,
,
该函数为振荡函数,函数有界,选项④正确.
故答案为:①②④.
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