题目内容
8.如图,F是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左焦点,椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$.A,B为椭圆的左顶点和上顶点,点C在x轴上,BC⊥BF,△BCF的外接圆M恰好与直线l1:x+$\sqrt{3}$y+3=0相切.(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点C的直线l2与已知椭圆交于P,Q两点,且$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=4,求直线l2的方程.
分析 (Ⅰ)通过e=$\frac{1}{2}$,可得c、b均能用a来表示,在Rt△BFO中,利用tan∠BFO=$\frac{|OB|}{|OF|}$可得圆M的圆心坐标及半径,通过圆心M到直线l1的距离等于r,计算即可;
(Ⅱ)设直线l2的方程方程为y=k(x-3),并与椭圆方程联立,利用韦达定理及$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=4,计算即得结论.
解答 解:(Ⅰ)∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,∴c=$\frac{1}{2}$a,b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$,
又F(-c,0),B(0,b),
∴在Rt△BFO中,tan∠BFO=$\frac{|OB|}{|OF|}$=$\frac{b}{c}$=$\sqrt{3}$,
∴∠BFO=$\frac{π}{3}$,|BF|=a.
∵BC⊥BF,∴∠BCF=$\frac{π}{6}$,∴|CF|=2a.
∴△BCF的外接圆M的圆心坐标为:M($\frac{a}{2}$,0),半径r=a,
又圆M与直线l1:x+$\sqrt{3}$y+3=0相切,
∴圆心M到直线l1:x+$\sqrt{3}$y+3=0的距离等于r,即$\frac{|\frac{a}{2}+0+3|}{2}$=a,
又a>0,∴a=2,∴b=$\sqrt{3}$,
∴椭圆的方程为:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1;
(Ⅱ)由(I)知F(-1,0),C(3,0),
设直线l2的斜率为k,则直线l2的方程方程为y=k(x-3),
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-3)}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,消去y得:(3+4k2)x2-24k2x+36k2-12=0,
由韦达定理可得:xP+xQ=$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$,xPxQ=$\frac{36{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$,
∴yPyQ=k2(xP-3)(xQ-3)=k2xPxQ-3k2(xP+xQ)+9k2,
则$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=(1+xP,yP)•(1+xQ,yQ)
=1+xP+xQ+xPxQ+yPyQ
=1+9k2+(1-3k2)(xP+xQ)+(1+k2)xPxQ
=1+9k2+(1-3k2)$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+(1+k2)$\frac{36{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
=$\frac{79{k}^{2}-9}{3+4{k}^{2}}$,
∵$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=4,∴$\frac{79{k}^{2}-9}{3+4{k}^{2}}$=4,解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴直线l2的方程为:y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x-3).
点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用,注意解题方法的积累,属于中档题.