题目内容
在直角坐标系中,直线与抛物线相交于A、B两点。
(1)求证:“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由
(1)求证:“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由
逆命题是:设直线交抛物线于A、B两点,
如果,那么该直线过点T(3,0),该命题是一个假命题
例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时,直线AB的方程是,
而T(3,0)不在直线AB上
如果,那么该直线过点T(3,0),该命题是一个假命题
例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时,直线AB的方程是,
而T(3,0)不在直线AB上
(1)证明:设过点T(3,0)的直线交抛物线于点,
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
此时直线与抛物线相交于点,……4分
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
其中,由
得,则………………………6分
又,
综上所述,命题“如果直线过点T(3,0),那么”是真命题。……8分
(2)解:逆命题是:设直线交抛物线于A、B两点,
如果,那么该直线过点T(3,0),该命题是一个假命题……………10分
例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时,直线AB的方程是,
而T(3,0)不在直线AB上………………………………………………14分
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
此时直线与抛物线相交于点,……4分
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
其中,由
得,则………………………6分
又,
综上所述,命题“如果直线过点T(3,0),那么”是真命题。……8分
(2)解:逆命题是:设直线交抛物线于A、B两点,
如果,那么该直线过点T(3,0),该命题是一个假命题……………10分
例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时,直线AB的方程是,
而T(3,0)不在直线AB上………………………………………………14分
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